昔はお米をのりにしてたと聞いた。くっつけたお米が腐ってしまわないのですか。

お米から作るのりは、デンプンのりと呼ばれる接着剤のうちの一つで、米粉を炊いて作るものやご飯をつぶして作るものがあります。

ご飯をつぶして作るのりは、「続飯（そくい）」といい、ご飯粒を丁寧につぶしていき、霧吹きで乾燥しないように硬さを調整してなめらかにしたもので、古くは奈良時代から使われていました。
こののりで紙や木を貼り合わせ、しっかり乾燥させ、水に触れない場所で使えば、現在使われている木工ボンドと同じくらいの強度があります。
そして、乾燥させて水分を飛ばしているため、接着した部分が腐ったり、カビが生えたりすることはありません。ただし、作ったのりそのものは腐りやすく、保存しておくことはできないので使いきれる量で作るとよいです。

『イチからつくるのり＜接着剤＞』（農山漁村文化協会　発行）
『接着剤のはなし』（日本実業出版社　発行）

「こまったこうやく　はりばがねえ」の意味が知りたい。

漢字では「困った膏薬　貼り場がねえ」と書き、困った時や失敗した時に使う言葉です。テンポよく言うことで会話に勢いがつく「付けたし言葉」として使われており、特に意味を持つ言葉ではありません。石見地方や、出雲地方では、簸川郡（現　出雲市）と大原郡（現　雲南市）で使われているようです。

「付けたし言葉」は、他人が何かを言った時に、洒落などを付け足して、言葉のリズムや五感を楽しむ「ことば遊び」として使われています。むだ口、地口（じぐち）とも言います。
よく知られている「付けたし言葉」として、「驚き　桃ノ木　山椒の木」や「結構毛だらけ猫灰だらけ」などがあります。

『声に出して読みたい日本語　１』（草思社　発行）
『ことば遊び辞典　新版』（東京堂出版　発行）
『島根県方言辞典』（島根県方言学会　発行）